A fita (faixa) de Möbius foi descoberta em 1858 de forma independente pelo matemático e astrônomo August Ferdinand Möbius (1790-1868) e pelo matemático Johann Benedict Listing (1808-1882), considerado o fundador da topologia.
Para confeccionar uma fita de Möbius precisamos:
-> recortar uma fita de papel na
forma de um retângulo e
-> colar as extremidades da fita depois de dar um giro de 180\(^\circ\) em uma delas.
-> Acompanhe com a animação o giro de 180\(^\circ\) em uma das extremidades.
Use o mouse para clicar no botão e ativar a animação, acessar a barra de rolagem e girar a figura.
Algumas propriedades da fita de Möbius
-> Acompanhe com a animação a única borda que uma fita de Möbius possui.
Use o mouse para clicar no botão e ativar a animação, acessar a barra de rolagem e girar a figura.
-> Acompanhe com a animação o único lado que uma fita de Möbius possui.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar as animações, acessar a barra de rolagem e girar a figura.
-> Cortar uma fita de Möbius ao longo de uma linha central resulta em uma única fita, entretanto, com duas bordas e dois lados distintos, deixando de ser uma fita de Möbius.
-> Acompanhe com a animação as bordas da fita obtida após cortar uma fita de Möbius ao meio.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar as animações, acessar as barras de rolagens e girar a figura.
-> Acompanhe com a animação os dois lados da fita obtida após cortar uma fita de Möbius ao meio.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar as animações, acessar as barras de rolagens e girar a figura.
-> Cortar uma fita de Möbius ao longo de uma linha paralela (não coincidente) à linha central resulta em duas novas fitas entrelaçadas, uma fita menor que é uma fita de Möbius, e uma fita maior com o dobro do comprimento da fita menor, mas com duas torções de 180\(^\circ\) igual a obtida quando uma fita é cortada ao meio.
-> Acompanhe com a animação as bordas das duas fitas obtidas após cortar uma fita de Möbius em uma linha paralela a linha central.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar as animações, acessar as barras de rolagens e girar a figura.
-> Acompanhe com a animação os lados das duas fitas obtidas ao cortar uma fita de Möbius em uma linha paralela a linha central.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar as animações, acessar as barras de rolagens e girar a figura.
O gráfico da superfície de uma fita de Mobius pode ser obtido por meio das equações paramétricas:
\[ \begin{cases} x(u,v)=\left(1+\cfrac{v}{2}\,\text{sen}\left(\cfrac{u}{2}\right)\right)\cos(u), \\ y(u,v)=\left(1+\cfrac{v}{2}\,\text{sen}\left(\cfrac{u}{2}\right)\right)\text{sen}(u), \\ z(u,v)=\cfrac{v}{2}\,\cos\left(\cfrac{u}{2}\right), \end{cases} \] \[0 \leq u < 2\pi\ \ \text{e} \ -1 \le v \le 1.\]
Essas equações geram uma fita de Möbius de largura 1 \((-1 \le v \le 1)\), cujo círculo central tem raio 1, encontra-se no plano \(xOy\) e é centrada em (0, 0, 0). O parâmetro \(u\) \((0 \leq u < 2\pi)\) percorre o arco completo formando a fita enquanto o intervalo em que \(v\) é limitado define a largura da fita.
Podemos reescrever as equações paramétricas da fita de Möbius de uma forma mais geral, que possibilita variar o raio \(r\) e a largura \(w\) \((-w \le v \le w)\):
\[ \begin{cases} x(u,v) = \left( r + \cfrac{v}{2}\,\text{sen}\left(\cfrac{u}{2} + \delta\right)\right)\cos(u), \\ y(u,v) = \left( r + \cfrac{v}{2}\,\text{sen}\left(\cfrac{u}{2} + \delta\right)\right)\text{sen}(u), \\ z(u,v) = \cfrac{v}{2}\, \cos\left(\cfrac{u}{2} + \delta\right), \end{cases} \] \[0 \leq u < 2\pi \ \ \text{e} \; -w \leq v \leq w.\]
Observe que \(\delta\) é uma constante de fase para as funções trigonométricas e determina o local na fita em que ela se encontra perpendicular ao plano \(xOy\). No caso das primeiras equações apresentadas, tem-se \(r = 1\), \(w = 1\) e \(\delta = 0\).
A animação a seguir possibilita acrescentar os círculos centrais e visualizar 3 fitas com raios (tamanhos) diferentes \(r=1\), \(r=2\) e \(r=3\) e com \(\delta=0\), \(\delta=\frac{\pi}{2}\) e \(\delta=0\), respectivamente.
Use o mouse para clicar nos botões e ativar (desativar) as animações, acessar as barras de rolagens e girar a figura.
A fita de Möbius está presente em alguns lugares:
-> Há esculturas da fita de Möbius,
como por exemplo, no Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA).
-> Há logotipos: IMPA
,
adobe
e reciclagem
.
-> Pode ser encontrada em projetos de arquitetura.
-> No passado já foi usada em alguns modelos de esteiras para
possibilitar que o desgaste do material ocorresse de forma homogênea.
Corações feitos com fitas de Möbius.
Referências
HUGHES, John. Resposta à pergunta “Understanding the Equation of a Möbius Strip”. Stack Exchange, 2014. Disponível em: https://math.stackexchange.com/questions/638225/understanding-the-equation-of-a-möbius-strip/638298#638298. Acesso em: 10 out. 2024.
Isto é Matemática T06E07 A Fita de Moebius. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=aZZ_d-FF0Bc.
Sparks, B. Atividade GeoGebra: Mobius Band explorer, 22 de mar. de 2023. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/v5z33vth. Acesso em: 09/01/2024.
Stdarler, M. M. Topología retorcida: la banda de (Listing) Möbius. Youtube, 7 de nov. de 2018. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=apq6r6JKNR4&t=670s. Acesso em: 09/01/2024.
Stdarler, M. M. La retorcida banda de Möbius. Bizkaia, Universidad del País Vasco: 11 de jul. de 2013. Disponível em: https://www.ehu.eus/~mtwmastm/La%20retorcida%20banda%20de%20Moebius.pdf. Acesso em: 09/01/2024.