O Problema das Agulhas de Buffon é famoso na história da Matemática e recebeu esse nome pois sua solução foi publicada em 1733 por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon (1707–1788).
Use o mouse para realizar o experimento. Você pode definir o número de agulhas para plotar, o comprimento das agulhas, o espaçamento entre as linhas e para entrar na janela com a explicação.
O problema de Buffon pode ser descrito da seguinte forma:
Imagine um piso de madeiras de mesma largura, sendo portanto, formado por linhas paralelas com mesmo espaçamento (distância \(d\)) entre elas.
Se um objeto fino e longo de comprimento \(l\) \((l < d)\) é lançado de forma aleatória e uniforme, ou seja, com mesma probabilidade de assumir qualquer posição e ângulo, então qual será a probabilidade desse objeto cruzar alguma das linhas?
- lançar uma grande quantidade de agulhas controlando os seus tamanhos e o espaçamento entre as linhas;
- comparar a probabilidade definida por Buffon com a proporção de agulhas que cruzam alguma linha;
- estimar o valor de \(\pi\) a partir dos lançamentos de agulhas.
-> defina o número de agulhas e clique em plotar agulhas.
-> defina o comprimento das agulhas \((\)menor ou igual ao espaçamento entre as linhas, \(\textit{l} ≤ \textit{d})\);
-> defina o espaçamento entre as linhas \((\)um número positivo menor ou igual a 100, \(\textit{d} ≤ 100)\);
O número \(\pi\) aparece na fórmula de Buffon!
Buffon verificou que a probabilidade \((P)\) do objeto longo e fino cortar uma das linhas depende do comprimento do objeto \((l)\) e do espaçamento entre as linhas paralelas \((d)\): \[ P=\frac{2l}{\pi d}.\]
Para recordarmos o \(\pi\) é um número irracional (não pode ser expresso por uma fração) sendo a sua expansão decimal infinita e aperiódica e começa com 3,1415… O \(\pi\) corresponde ao quociente entre o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro. Por curiosidade, no novo recorde em 2024, foram encontradas 202 trilhões de casas decimais do número \(\pi\).
Como \(\pi\) aparece na fórmula de Buffon, uma curiosidade que surgiu foi estimar \(\pi\) usando o Problema das agulhas de Buffon.
Uma forma para estimar essa probabilidade é lançar um número grande de agulhas (palitos) e calcular a frequência relativa \((\hat{P})\), ou seja, a razão entre a quantidade de agulhas que cruzam as linhas (casos favoráveis) e a quantidade total de agulhas (palitos) lançados (casos possíveis).
Podemos isolar \(\pi\) na fórmula de Buffon, ou seja, se \(P=\frac{2l}{\pi d}\), então \(\pi=\frac{2l}{Pd}\), e depois substituir \(P\) pela estimativa da proporção de agulhas que cruzam alguma das linhas \((\hat{P})\), de modo que \(\pi\approx\frac{2l}{\hat{P}d}\).
Observe que essa aproximação de \(\pi\) pode ser um tanto grosseira, pois depende da qualidade da estimativa \(\hat{P}\) de \(P\).
Exemplo: Um resultado obtido com o lançamento de 100 agulhas de comprimento \(l=20\) e espaçamento \(d=40\).
Neste exemplo a probabilidade de Buffon de uma agulha cruzar uma linha é \(P\approx 0,3183098862\) e a proporção de agulhas que cruzam uma das linhas é \(\hat{P}=0,31\). A estimativa de \(\pi\) obtida a partir dos lançamentos foi \(\pi\approx 3,2258064516\).
Buffon considerou a razão entre as áreas que correspondem aos casos favoráveis e aos casos possíveis (casos favoráveis/casos possíveis), visto que a posição das agulhas é aleatória e uniforme, ou seja, cada posição da agulha tem mesma probabilidade de ocorrer.
Primeiramente vamos compreender como calcular a área que corresponde aos casos possíveis.
Para mapear os possíveis resultados ele considerou a área de um retângulo de altura \((d)\) e comprimento \(2\pi\).
Use o aplicativo para verificar quais são as possíveis posições de uma agulha com relação as linhas horizontais:
- as possíveis posições que uma das extremidades (cabeça) da agulha pode assumir com relação ao \(\text{eixo y}\), ou seja, a altura \((y)\) em relação à paralela imediatamente abaixo da extremidade;
- os possíveis ângulos (valores de \(\theta\)) que a agulha forma com uma reta horizontal que passa pela sua extremidade (cabeça da agulha).Use o mouse para variar a posição em que uma agulha pode cair levando em conta a altura dentro de espaçamento entre duas linhas e o ângulo que a agulha forma no sentido anti-horário.
Observe que os valores possíveis da altura \((y)\) variam de 0 até o tamanho do espaçamento entre as linhas \((d)\), de modo que a altura do retângulo será \(d\).
Observe também que o ângulo \((\theta)\) varia de \(0\) a \(2\pi\), de modo que, considerando todos os ângulos possíveis de uma agulha, obtemos uma circunferência de raio igual ao comprimento da agulha \((l)\).
Dessa forma, a área do retângulo que representa as possíveis posições das agulhas é dada \(2\pi d\).
O próximo passo será compreender como podemos obter a área que corresponde as posições em que a agulha corta alguma das linhas.
A altura \((h)\) da outra extremidade da agulha em relação à linha paralela será dada por \(h = y + l \,\text{sen}(\theta)\). Fixado algum ângulo \(\theta\), para que a agulha cruze uma linha horizontal, devemos ter \(h \leq 0\) (em que a agulha cruza a linha de baixo) ou \(h \geq d\) (em que a agulha cruza a linha de cima). Dessa forma, conseguimos obter os dois intervalos que correspondem aos valores de \(y\) nos casos em que há cruzamento das agulhas. Basta substituir \(h\) por sua expressão \(h = y + l \,\text{sen}(\theta)\).
-> A condição \(h \leq 0\) equivale a \(y + l \,\text{sen}(\theta) \leq 0\), ou seja, \(y \leq - l \,\text{sen}(\theta)\).
-> A condição \(h \geq d\) equivale a \(y + l \,\text{sen}(\theta) \geq d\), ou seja, \(y \geq d - l \,\text{sen}(\theta)\)
Como \(y\) varia de \(0\) a \(d\), considerando essas duas condições, temos que a agulha cruza a linha se, e somente se, \(0 \leq y \leq - l \,\text{sen}(\theta)\) ou \(d - l \,\text{sen}(\theta) \leq y \leq d\).
Observe pela animação como são obtidas as funções que determinam as condições de \(y\).
Use o mouse para parar ou prosseguir com a exibição das funções.
A área que corresponde, dentro do retângulo, às posições em que a agulha corta alguma das linhas será então a união das áreas delimitadas por essas curvas \((\)pelas curvas \(y = 0\) e \(y = - l \,\text{sen}(\theta)\) e pelas curvas \(y = d - l \,\text{sen}(\theta)\) e \(y = d\)\()\).
Cada uma dessas áreas é igual a \(2l\). Esse resultado é obtido com uso de uma integral definida, que é uma das poderosas ferramentas do Cálculo.
\[\int_{\pi}^{2 \pi} - l \,\text{sen}(\theta) \; d \theta=2l.\] Desse modo a soma dessas áreas resulta \(4l\).
Como a área do retângulo que representa todas as possíveis posições das agulhas é \(2 \pi d\), então a probabilidade de Buffon é dada pela razão dessa área pela área total:
\[ \frac{\text{Área formada pelas posições em que há cruzamento}}{\text{Área formada por todas as posições possíveis}} = \frac{4l}{2 \pi d} = \frac{2l}{\pi d}.\]
Referências
BEHRENDS, Ehrhard; BUESCU, Jorge. Terá Buffon realmente lançado agulhas?. Boletim da sociedade portuguesa de matemática, [s. l.], n. 71, p. 123-132, 1 dez. 2014. Disponível em: https://revistas.rcaap.pt/boletimspm/issue/view/431. Acesso em: 10 out. 2024.
POSSANI, Claudio. O problema das agulhas de Buffon. [São Paulo/SP]: Professor Possani, 2022. 1 vídeo (17 min). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=vfUqPpPw2f4. Acesso em: 4 set. 2023.